Question

如图，抛物线y=

1

4

x²+bx+c与x轴交于点A（-2，0），交y轴于点B（0，-

5

2

）．直线y=kx+

3

2

过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=

1

4

x²+bx+c与直线y=kx+

3

2

的解析式；
（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组可以求得b、c的值；把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程求得k的值；
（2）根据平行四边形的性质推知EC=PM．易求点D的坐标是（8，7

1

2

），点C的坐标是（0，

3

2

），则CE=6．设P的坐标是（x，

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

），则M的坐标是（x，

3

4

x+

3

2

），
则PM=（

3

4

x+

3

2

）-（

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，所以由EC=PM得到-

1

4

x²+

3

2

x+4=6，通过解方程求得点P的坐标是（2，-3）和（4，-

3

2

）；  
（3）通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知：

△PMN的周长

△CDE的周长

=

PM

DC

，把相关数据代入并整理可以得出m与x的函数关系式是：m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

=-

3

5

（x-3）²+15，
由抛物线的性质可以得到：m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x²+bx+c经过点A（-2，0）和B（0，-

5

2

）
∴由此得

1-2b+c=0 c=- 5 2

，解得

b=- 3 4 c=- 5 2

∴抛物线的解析式是y=

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

；
∵直线y=kx+

3

2

经过点A（-2，0）
∴-2k+

3

2

=0，
解得：k=

3

4

，
∴直线的解析式是 y=

3

4

x+

3

2

；

（2）可求D的坐标是（8，7

1

2

），点C的坐标是（0，

3

2

），
∴CE=6，
设P的坐标是（x，

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

），则M的坐标是（x，

3

4

x+

3

2

）
因为点P在直线AD的下方，
此时PM=（

3

4

x+

3

2

）-（

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，
即-

1

4

x²+

3

2

x+4=6
解这个方程得：x₁=2，x₂=4，
当x=2时，y=-3，
当x=4时，y=-

3

2

，
因此，直线AD下方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，
点P的坐标是（2，-3）和（4，-

3

2

）；  

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=

82+62

=10
∴△CDE的周长是24，
∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，
∴

△PMN的周长

△CDE的周长

=

PM

DC

，即  

m

24

=

- 1 4 x2+ 3 2 x+4

10

，
化简整理得：m与x的函数关系式是：m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

，
m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

=-

3

5

（x-3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．

点评：本题考查了二次函数综合题．解题时，涉及到了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性比较强，需要学生系统的掌握知识．