Question

15．在平行四边形ABCD内，AR，BR，CP，DP各为四角的平分线，求证：SQ∥AB，RP∥BC．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和角平分线得出AD=BC，∠DAS=∠BAR=∠BCQ，∠ADS=∠CBQ，证出△ADS∽△ABR，得出对应边成比例$\frac{AR}{AS}=\frac{BR}{DS}$，由ASA证明△ADS≌△CBQ，得出对应边相等DS=BQ，得出$\frac{AR}{AS}=\frac{BR}{BQ}$，证出SQ∥AB，同理得出RP∥BC．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，AD=BC，
∵AR，BR，DP为四边形的角平分线，
∴∠DAS=∠BAR=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABR=∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ADS=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠DAS=∠BAR=∠BCQ，∠ADS=∠CBQ，
∴△ADS∽△ABR，
∴$\frac{AR}{AS}=\frac{BR}{DS}$，
在△ADS和△CBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADS=∠CBQ}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\\{∠DAS=∠BCQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADS≌△CBQ（ASA），
∴DS=BQ，
∴$\frac{AR}{AS}=\frac{BR}{BQ}$，
∴SQ∥AB，
同理：RP∥BC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定方法；本题综合性强，有一定难度，需要证明三角形相似和三角形全等才能得出结论．