Question

8．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 可以分为两种情况：当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM、ON的长，即可求得面积的表达式；当M、N分别在AB、BC上时，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积，可得关于t的表达式，然后根据函数的图象的形状确定正确的选项即可．

解答 解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3），
∴A（4，0），C（0，3），
当0＜t≤4时，OM=t，
由△OMN∽△OAC，
得$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OC}$，
∴ON=$\frac{3}{4}$t，S=$\frac{3}{8}$t²；
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，
∴AD=t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM=$\frac{3}{4}$（t-4）
∴BM=6-$\frac{3}{4}$t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=$\frac{4}{3}$BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积
=12-$\frac{3}{2}$（t-4）-$\frac{1}{2}$（8-t）（6-$\frac{3}{4}$t）-$\frac{3}{2}$（t-4）=-$\frac{3}{8}$t²+3t，
故选C．

点评 考查了动点问题的函数图象，重点应用了相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想，难度较大．