Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，B（1，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，经过点B（1，0），C（0，-3），
∴

- b 2a =-1 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
所以，二次函数的解析式是：y=x²+2x-3；

（2）如图，∵A、B两点关于对称轴x=-1对称，
∴点A（-3，0），
作直线AC交对称轴于点P，点P即为所求，
根据三角形的三边关系，PA-PC＜AC，
所以，当点P为AC与对称轴的交点时，点P到A、C两点距离之差最大，
设直线BC的解析式是：y=kx+b，
∴

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

，
∴设直线AC的解析式是：y=3x-3，
当x=-1时，y=-6，
∴点P的坐标是（-1，-6）．