Question

2．在⊙O中，半径OA、OB互相垂直，点C为弧$\widehat{AB}$上一点（不与A、B重合），CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，点G、H分别在CE、CD上，且CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，当C点在弧$\widehat{AB}$上顺时针运动时，已知⊙O的半径长为6，则GH的长度为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1.5
• D． 无法确定

Answer 1

分析 先利用垂直判断出四边形OECD是矩形，即可得出DE=OC=6，再用两边对应成比例夹角相等的两三角形相似，得出△CHG∽△CDG，即：$\frac{GH}{DE}=\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，即可得出结论．

解答 解：如图，连接OC，DE，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO=∠CDO=90°，
∵半径OA、OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，
∴∠CEO=∠CDO=∠AOB=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE=OC=6，
∵CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{CG}{CE}=\frac{1}{3}$，$\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CG}{CE}=\frac{CH}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠HCG=∠DCE，
∴△CHG∽△CDG，
∴$\frac{GH}{DE}=\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$DE=2，
故选B．

点评 此题是相似三角形的判定与性质，主要考查了矩形的判定和性质，解本题的关键是得出DE=OC=6，是一道很好的基础题．