Question

【题目】已知射线平行于射线，点、分别在射线、上.

（1）如图1，若点在线段上，若，时，则_________.

（2）如图1，若点在线段上运动（不包含、两点），则、、之间的等量关系是_____________________.

（3）①如图2，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________；

②如图3，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________.

（4）请说明图2中所得结论的理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②；（4）见解析；

【解析】

（1）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，把∠A=25°，∠APC=70°代入计算可得到∠C的度数；

（2）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，可得到∠APC=∠A+∠C；

（3）过P作MN∥CD，根据平行线的性质得∠MPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥MN，得到∠APM=∠A，则∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A，可得到∠APC=∠C-∠A；

② 过P作IJ∥CD，根据平行线的性质得∠IPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥IJ，得到∠API=∠A，则∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C，可得到∠APC=∠A-∠C；

（4）过点作，由两直线平行，内错角相等，得到，，再由角的关系进行相减即可.

解：

（1）如图1，过P作GH∥CD，

∴∠C=∠CPH.

∵AB∥CD，

∴AB∥GH，

∴∠A=∠APH.

∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，

∴∠C=∠APC-∠A=70°-25°=45°.

（2）如图1，如图1，过P作GH∥CD，

∴∠C=∠CPH.

∵AB∥CD，

∴AB∥GH，

∴∠A=∠APH.

∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，

∴.

（3）①如图2，过P作MN∥CD，

∴∠MPC=∠C.

∵AB∥CD，

∴AB∥MN，

∴∠APM=∠A.

∵∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A

∴；

②如图3，过P作IJ∥CD，

∴∠IPC=∠C.

∵AB∥CD,

∴AB∥IJ,

∴∠API=∠A.

∵∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C

∴.

（4）理由：过点作

∵

∴

∴，

∵

∴