Question

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，AG交CD于K、E为CD延长线上一点，且EK=EG，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若DK=2HK=AK，CH=$\sqrt{15}$，求图中阴影部分的面积S；
（3）若AC∥EF，sinE=$\frac{3}{5}$，AK=2$\sqrt{3}$，则FG=$\frac{5\sqrt{30}}{8}$（填写最后结果即可，不必写出解答过程）

Answer 1

分析 （1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；
（2）与已知条件得出∠HAK=30°，HK=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，AH=$\sqrt{3}$HK=$\sqrt{5}$，连接OD，设⊙O的半径为R，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，得出OH=$\frac{1}{2}$OD，求出∠ODH=30°，△ODH的面积=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，再求出∠BOD=120°，得出扇形OBGD的面积=$\frac{20π}{3}$，证明△GEK是等边三角形，求出OF=2OG=4$\sqrt{5}$，得出HF=OH+OF=5$\sqrt{5}$，求出HE=$\frac{5\sqrt{15}}{3}$，计算出△EFH的面积，即可得出结果；
（3）连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

解答 （1）证明：连接OG，如图1所示：
∵弦CD⊥AB于点H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴DH=CH=$\sqrt{15}$，
∵DK=2HK=AK，
∴∠HAK=30°，HK=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴AH=$\sqrt{3}$HK=$\sqrt{5}$，
连接OD，如图2所示：
设⊙O的半径为R，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：（$\sqrt{15}$）²+（R-$\sqrt{5}$）²=R²，
解得：R=2$\sqrt{5}$，
∴OH=OA-AH=$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠ODH=30°，△ODH的面积=$\frac{1}{2}$OH•DH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{15}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DOH=60°，
∴∠BOD=120°，
∴扇形OBGD的面积=$\frac{120π×（2\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{20π}{3}$，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠HAK=30°，
∴∠EGK=90°-30°=60°，
又∵EK=EG，
∴△GEK是等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠F=90°-60°=30°，
∵GO⊥EF，
∴OF=2OG=4$\sqrt{5}$，
∴HF=OH+OF=5$\sqrt{5}$，
∴HE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$HF=$\frac{5\sqrt{15}}{3}$，
∴△EFH的面积=$\frac{1}{2}$HF•HE=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{5}$×$\frac{5\sqrt{15}}{3}$=$\frac{125\sqrt{3}}{6}$，
∴图中阴影部分的面积S=$\frac{125\sqrt{3}}{6}$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-$\frac{20π}{3}$=$\frac{55\sqrt{3}}{3}$-$\frac{20π}{3}$；
（3）解：连接OG，OC，如图3所示
sinE=sin∠ACH=$\frac{3}{5}$，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：t=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，
解得：r=$\frac{25}{6}$t=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$，
∵EF为切线，
∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$，tan∠OFG=tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{4}{3}$，
∴FG=$\frac{OG}{tan∠OFG}$=$\frac{\frac{5\sqrt{30}}{6}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{5\sqrt{30}}{8}$；
故答案为：$\frac{5\sqrt{30}}{8}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、三角函数、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、扇形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线应用勾股定理求出半径才能得出结果．