Question

（2012•和平区三模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C）．
（Ⅰ）如图①，当AB∥CB₁时，旋转角θ=

30

（度）；
（Ⅱ）如图②，取AC的中点E，A₁B₁的中点P，连接EP，已知AC=a，当θ=

120

（度）时，EP的长度最大，最大值为

3a

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两直线平行，内错角相等可得∠BCB₁=∠ABC，然后根据对应边BC和B₁C的夹角为旋转角解答；
（Ⅱ）连接CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=A₁P，然后求出△A₁CP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠A₁CP=60°，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得CE+CP＞EP，从而判断出当点E、C、P三点共线时EP最大，然后根据平角等于180°进行计算即可得解．

解答：解：（Ⅰ）∵AB∥CB₁，∠ABC=30°，
∴∠BCB₁=∠ABC=30°，
∴旋转角为∠BCB₁=30°；

（Ⅱ）∵P为A₁B₁的中点，
∴CP=A₁P，
∵∠ABC=30°，
∴∠B₁=∠B=30°，
∴∠A₁=90°-∠B₁=90°-30°=60°，
∴△A₁CP是等边三角形，
∴∠A₁CP=60°，
根据三角形的三边关系，CE+CP＞EP，
∴当点E、C、P三点共线时EP最大，最大为EP=CE+CP，
此时，旋转角为180°-∠A₁CP=180°-60°=120°，
∵AC=a，点E为AC的中点，
∴EP=

1

2

a+a=

3a

2

．
故答案为：30；120，

3a

2

．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟练掌握旋转的性质，并判断出点E、C、P三点共线时EP最大是解题的关键．