Question

【题目】如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．

（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；

（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；

（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．

Answer 1

【答案】（1）CE＝4；（2）⊙O的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6

【解析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到，即 解得即可；

（3）证得D和M重合，E和F重合后，通过证得△GBE∽△ABC，，即，解得即可.

解：（1）如图①，连接OE，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∵AC＝8，⊙O的半径为2，

∴OC＝6，OE＝2，

∴CE＝ ；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝ ＝6，

∵AF＝BF，

∴AF＝CF＝BF，

∴∠ACF＝∠CAF，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴△OEC∽△BCA，

∴，即

解得r＝3，

∴⊙O的半径为3；

（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，

由对称性可知，CB＝CG，

∵CE＝CG，

∴∠EGC＝∠GEC，

∵CE切⊙O于E，

∴∠GEC+∠OEG＝90°，

∵∠EGC+∠GMC＝90°，

∴∠OEG＝∠GMC，

∵∠GMC＝∠OME，

∴∠OEG＝∠OME，

∴OM＝OE，

∴点M和点D重合，

∴G、D、E三点在同一直线上，

连接AE、BE，

∵AD是直径，

∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，

又CE＝CB＝CG，

∴∠BEG＝90°，

∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，

∴A、E、B三点在同一条直线上，

∴E、F两点重合，

∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△GBE∽△ABC，

∴ ，即

∴GE＝9.6，

故G、E两点之间的距离为9.6．