Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=2，且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A．
（1）求出直线BC及抛物线的解析式；
（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M，N，且MN=2，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小？若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为3

2

的点P．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，根据题意列方程组求解即可；
（2）若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可，∵点D抛物线上，
∴D（1，1）∴D点关于直线x=2的对称点是D₁（3，1）∵B（0，4）
∴将B点向下平移2个单位得到B₁（0，2）（1分）∴直线B₁D₁交直线x=2于点N，求得直线B₁D₁的解析式即可得解；
（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线BC的距离为h，故P点应在与直线BC平行，且相距3

2

的上下两条平行直线l₁和l₂上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3

2

．根据图形求解即可．

解答：解：（1）设BC直线解析式：y=kx+b
根据题意得：

b=4 9=5k+b

解得

b=4 k=1

直线BC的解析式为：y=x+4（1分）
∵抛物线的对称轴为x=2
设抛物线的解析式为y=（x-2）²+t，
根据题意得

4=a(0-2)2+t 9=a(5-2)2+t

解得：

a=1 t=0

抛物线的解析式为y=x²-4x+4（1分）

（2）∵若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可
∵点D抛物线上，
∴D（1，1）
∴D点关于直线x=2的对称点是D₁（3，1）
∵B（0，4）
∴将B点向下平移2个单位得到B₁（0，2）（1分）
∴直线B₁D₁交直线x=2于点N，
∵直线B₁D₁的解析式为：y=-

1

3

x+2（1分）
∴N（2，

4

3

）
∵MN=2∴M（2，

10

3

）（1分）

（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线BC的距离为h，
故P点应在与直线BC平行，且相距3

2

的上下两条平行直线l₁和l₂上．（1分）
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3

2

．
如图，设l₁与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，EF=h=3

2

，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l₁与y轴交点坐标为（0，10）
同理可求得直线l₂与y轴交点坐标为（0，-2）（1分）
∴两直线解析式l₁：y=x+10，l₂：y=x-2．
根据题意列出方程组：①

y=x2-4x+4 y=x+10

；
②

y=x2-4x+4 y=x-2

∴解得：

x1=6 y1=16

；

x2=-1 y2=9

；

x3=2 y3=0

；

x4=3 y4=1

∴满足条件的点P有四个，它们分别是P₁（2，0），P₂（3，1），P₃（-1，9），P₄（6，16）．（1分）

点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意待定系数法求函数解析式，还要注意数形结合思想的应用．