Question

16．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，得出∠E=∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，据此可得出∠BAD=∠EDC；
（2）①根据轴对称作图即可；②想法1：要证明DA=AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需根据ASA证明△ABD≌△ACM即可．

解答 解：（1）如图1，∵DE=DA，
∴∠E=∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，
∴∠BAD=∠EDC；

（2）①补全图形如图2；
②证法1：由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AD=AM；

证法2：连接CM，
由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADM中，∠DAM=（180°-60°）÷2=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAM，
由轴对称可得，∠DCE=∠DCM=120°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°-60°=60°，
∴∠B=∠ACM，
在△ABD和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAM}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AD=AM．

点评 本题属于三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．根据题目条件构造相应的全等三角形是解第（2）题的关键，解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60°，三条边都相等．