分析 (1)①根据圆的周长公式即可得出结论;
②设弧MN所在圆的半径为r,所对的圆心角度数为n,再根据弧长公式得出$\widehat{MN}$与$\widehat{EF}$的长,求出其比值即可;
③根据②中的结论求出r的值,再由①中两弧长即可得出n的值.
(2)延长EM交FN于点O,根据∠MON=60°得出△MON和△EOF是等边三角形,故可得出长方形的长,设RS与$\widehat{EF}$交于点P,OP交ZX于点Q,在Rt△OQN中,根据∠QON=30°,OQ=ON•cos30°,故可得出长方形的宽,设正方形边长为xcm,在Rt△BEF中根据勾股定理即可得出x的值.
解答 解:(1)①∵直径AB=6cm,杯底直径CD=4cm,杯壁母线AC=BD=6cm,
∴杯口圆的半径为3cm,杯底圆的半径为2cm,
∴$\widehat{EF}$的长=2×3π=6πcm,$\widehat{MN}$的长=2×2π=4πcm,ME=NF=AC=6cm.
故答案为:6π,4π,6;
②设弧MN所在圆的半径为r,所对的圆心角度数为n,则 $\widehat{MN}$的长度=$\frac{nπr}{180}$,$\widehat{EF}$ 的长=$\frac{nπ(r+FN)}{180}$,
所以$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{\frac{nπ(r+FN)}{180}}{\frac{nπr}{180}}$=$\frac{r+FN}{r}$=$\frac{ON+NF}{ON}$=$\frac{OF}{ON}$,
③由②得,$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{OF}{ON}$,即$\frac{6π}{4π}$=$\frac{r+6}{r}$,解得r=12,
∵$\widehat{MN}$的长=$\frac{nπr}{180}$,
∴$\frac{nπ×12}{180}$=4π,解得n=60,
即弧MN所在圆的半径r等于12cm,及它所对的圆心角的度数为60°;
(2)延长EM交FN于点O,
∵∠MON=60°,
∴△MON和△EOF是等边三角形,
∴EF=长方形的长=12+6=18,
设RS与$\widehat{EF}$ 交于点P,OP交ZX于点Q,连接OP,
∴OQ⊥MN,MQ=QN,
在Rt△OQN中,∠QON=30°,OQ=ON•cos30°=6$\sqrt{3}$,
∴长方形的宽=(18-6$\sqrt{3}$ )cm,
∵设正方形边长为xcm,
∴在Rt△AOE中,AO2+AE2=OE2,
∵OE=18,
∴BE=BF=9$\sqrt{2}$,
即x2+(x-9$\sqrt{2}$ )2=182,
化简得,x2-9$\sqrt{2}$ x-81=0,
解得x=$\frac{9}{2}$($\sqrt{2}$$±\sqrt{6}$),
∵x>0,
∴x=$\frac{9}{2}$($\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$),
∴正方形边长为 $\frac{9}{2}$($\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$)cm.
点评 本题考查的是圆的综合题,涉及到弧长的计算、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识,难度适中,关键是理解题意,搞清楚弧长与底面圆的周长之间的关系是解题的关键.
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