Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立？（要求画出示意图并说明理由）
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG²=BF•BO的正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG²=BF•BO的7个结论）

Answer 1

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠OCA
∵AB为直径
∴∠OCA+∠OCB=90°
∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°
即PC是⊙O的切线．

（2）解：添加条件为：G为BC的中点．
连接OG
∵G为BC的中点
∴OG⊥BC又FG⊥BO
∴Rt△BFG∽Rt△BGO
∴

（3）解：①CG²=BF•BD
②EF²=AF•FB
③PC²=PD•PE
④PG²=PD•PE
⑤CG²=DG•GE
⑥DF²=AF•FB
⑦FG²=OF•FB
分析：（1）证PC是⊙O的切线，即证∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因为AB为直径，直径所对的圆周角为直角，即可证明．
（2）BG²=BF•BO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必须相似，而他们已经共用了一角B，所以如果相似，则必有∠BFG=∠BGO=90°，根据垂径定理，G点必在BC中点处．
（3）在（2）成立的前提下，只要找出一组组的相似三角形，就可以进行解答．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定及切线判定的理解及运用．