Question

20．如图1，将两个等腰三角形ABC和DEC拼合在一起，其中∠C=90°，AC=BC，CD=CE．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，把△DEC绕着顶点C旋转，使点D落在BC边上．
填空：线段AD与BE的关系是
①位置关系：AD⊥BE
②数量关系：AD=BE
（2）变式探究
当△DEC绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）解决问题
如图4，已知线段AB=5，线段AC=2$\sqrt{2}$，以BC为边作一个正方形BCDE，连接AD，随着边BC的变化，线段AD的长也会发生变化．请直接写出线段AD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）延长AD交BE于点F．依据SAS证明△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可得到AD=BE，然后再由∠CAD=∠CBE，∠CDA=∠FDB，可得到∠DFB=∠DCA=90°；
（2）如图2所示：记AD与BC的交点为O，BE与AD的交点为F．先证明∠ACD=∠BCE，然后依据SAS证明△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可得到AD=BE，然后由∠CAD=∠CBE，∠AOC=∠BOF，可证明∠ACO=∠BFO=90°；
（3）过点C作CE⊥AC，取AC=CE，连结BE，先在等腰直角△ACE中求得AE的长，然后依据三角形的三边关系可求得BE的取值范围，最后依据SAS证明△BCE≌△DCA，由全等三角形的性质得到AD=BE，故此可求得AD的取值范围．

解答 解：（1）延长AD交BE于点F．

在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠ACD=∠ECB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
又∵∠CDA=∠FDB，
∴∠DFB=∠DCA=90°．
∴AD⊥BE．
故答案为：AD⊥BE，AD=BE．
（2）如图2所示：记AD与BC的交点为O，BE与AD的交点为F．

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
又∵∠AOC=∠BOF，
∴∠ACO=∠BFO=90°．
∴AD⊥BE．
（3）如图3所示：过点C作CE⊥AC，取AC=CE，连结BE．

∵AC=CE=2$\sqrt{2}$，∠ACE=90°，
∴AE=4．
∵AE=4，AB=5，
∴1＜BE＜9．
∵∠DCB=∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠BCA=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE．
在△BCE和△DCA中$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠BCE=∠ACD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCA．
∴AD=BE．
∴1＜AD＜9．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系、等腰三角形的性质，掌握本题中辅助线的作法是解答问题（3）的关键．