Question

17．已知，抛物线y=ax²+bx+4 与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；
（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线
y=ax²+bx+4对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；
（2）可设出G点坐标，利用旋转的性质可求得DG=DB，从而可列出方程，可求得G点坐标；
（3）分BE为对角线和BE为边两种情况，①当BE为对角线时，则可知BE⊥DF，可知D为对称轴与直线AC的交点，F为D点关于x轴的对称点，可先求得直线AC的解析式，可求得D点坐标，则容易求得F点坐标；②当BE为边时，可利用直线BC或直线AC的解析式设出点D的坐标，从而可表示出F点的坐标，再利用菱形的性质可列出方程，从而可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+4 与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{4a+2b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+4；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$．
∴可设点G的坐标为（-$\frac{1}{2}$，y），
∵点D是BC的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴DB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
由旋转的性质可知，DG=DB，
∴（-$\frac{1}{2}$-1）²+（y-2）²=5，解得：y=2+$\frac{\sqrt{11}}{2}$或y=2-$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴点G的坐标为（-$\frac{1}{2}$，2+$\frac{\sqrt{11}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，2-$\frac{\sqrt{11}}{2}$）．

（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC的交点，F为点D关于x轴的对称点，
设直线AC解析式为y=kx+b，
∵C（0，4），A（-3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}b=4\\-3k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ k=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{10}{3}$，
∴D$（-\frac{1}{2}，\frac{10}{3}）$，
∴F$（-\frac{1}{2}，-\frac{10}{3}）$；
②当BE为菱形的边时，有DF∥BE
I）当点D在直线BC上时，可求得直线BC解析式为y=-2x+4，
设D（a，-2a+4），则点F$（-\frac{1}{2}，-2a+4）$，
∵四边形BDFE是菱形，
∴FD=DB，
∴$（a+\frac{1}{2}{）^2}={（a-2）^2}+{（-2a+4）^2}$，解得${a_1}=\frac{{21+5\sqrt{5}}}{8}$，${a_2}=\frac{{21-5\sqrt{5}}}{8}$，
∴F$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5-5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5+5\sqrt{5}}}{4}）$；
II）当点D在直线AC上时，
设D$（a，\frac{4}{3}a+4）$，则点F$（-\frac{1}{2}，\frac{4}{3}a+4）$，
∵四边形BFDE是菱形，
∴FD=FB，
∴（a+$\frac{1}{2}$）²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{4}{3}$a+4）²，解得：a₁=-3（舍去），${a_2}=-\frac{66}{7}$，
∴F$（-\frac{1}{2}，-\frac{60}{7}）$，
综上所述，点F的坐标分别为$（-\frac{1}{2}，-\frac{10}{3}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5-5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5+5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，-\frac{60}{7}）$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质、待定系数法、勾股定理、菱形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出DG=DB是解题的关键，在（3）中确定出D点的位置是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．