Question

11．如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：$\sqrt{2}$，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先根据已知条件判定△E'A'B∽△ABC，得出∠A'BE'=∠ACB，进而判定AC∥BE'，连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论．

解答 解：由折叠可得，BE=$\frac{1}{2}$BC=AF，而AB：BC=1：$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由旋转可得，AF=A'E'，AB=A'B，
∴$\frac{A'E'}{A'B}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{A'E'}{A'B}$=$\frac{AB}{BC}$，
又∵∠E'A'B=∠ABC=90°，
∴△E'A'B∽△ABC，
∴∠A'BE'=∠ACB，
∴AC∥BE'，
连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，
由题可得，N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，
∴△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，
∴△AMN的面积=$\frac{1}{4}$×8=2，
故选：C．

点评 本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线．解题时注意：平行线之间的距离处处相等．