Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴直线x=1与x轴相交于M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（秒），当以B、P、Q为顶点的三角形与△BCM相似时，求t的值；
（3）设点E在抛物线上，点F在对称轴上，在（2）的条件下，当点运动停止时，是否存在点E、F，使得以B、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据解析式求得B、C的坐标，求得OB=4，OC=3，进而求得BM=3，BC=5，得出BP=6-3t，BQ=2t，若△BPQ∽△BCM，则$\frac{6-3t}{5}$=$\frac{2t}{3}$，解得t=$\frac{18}{19}$；若△BQP∽△BCM，则$\frac{2t}{5}$=$\frac{6-3t}{3}$，解得t=$\frac{10}{7}$；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式，根据题意求得BQ=4，根据三角形相似求得Q（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$），当BQ是平行四边形的边时，E的横坐标为$\frac{21}{5}$或-$\frac{11}{5}$，代入抛物线的解析式为y=$\frac{93}{200}$，当BQ是平行四边形的对角线时，E的横坐标为$\frac{19}{5}$，代入抛物线的解析式为y=-$\frac{87}{200}$；所以E的坐标为（$\frac{21}{5}$，$\frac{93}{200}$）或（-$\frac{11}{5}$，$\frac{93}{200}$）或（$\frac{19}{5}$，-$\frac{87}{200}$）．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3；

（2）由y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3可知B（4，0），C（0-3），
∴OB=4，OC=3，
∴BM=3，BC=5，
∴BP=6-3t，BQ=2t
若△BPQ∽△BCM，则$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BM}$，得$\frac{6-3t}{5}$=$\frac{2t}{3}$，解得t=$\frac{18}{19}$；
若△BQP∽△BCM，则$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BP}{BM}$，得$\frac{2t}{5}$=$\frac{6-3t}{3}$，解得t=$\frac{10}{7}$；
（3）∵B（4，0），C（0-3），
∴直线BC解析式：y=$\frac{3}{4}$x-3，
当t=2时，P到达终点B，BQ=4，
作QN⊥AB于N，
∴△BQN∽△BCO，
∴$\frac{QN}{OC}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{QN}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴QN=$\frac{12}{5}$，
∴Q的纵坐标为-$\frac{12}{5}$，
代入y=$\frac{3}{4}$x-3，得x=$\frac{4}{5}$，
∴Q（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
当BQ是平行四边形的边时，
∵对称轴直线x=1，
∵Q的对称轴的距离为$\frac{1}{5}$，
∴E的横坐标为$\frac{16}{5}$+1=$\frac{21}{5}$或-$\frac{16}{5}$+1=-$\frac{11}{5}$，
代入抛物线的解析式为y=$\frac{93}{200}$，
∴E₁（$\frac{21}{5}$，$\frac{93}{200}$），E₂（-$\frac{11}{5}$，$\frac{93}{200}$），
当BQ是平行四边形的对角线时，
∵B点到对称轴的距离为3，
∴E的横坐标为3+$\frac{4}{5}$=$\frac{19}{5}$，
代入抛物线的解析式为y=-$\frac{87}{200}$；
∴${E_3}（\frac{19}{5}，-\frac{87}{200}）$，
综上，在（2）的条件下，当点运动停止时，存在点E、F，使得以B、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，此时E的坐标为（$\frac{21}{5}$，$\frac{93}{200}$）或（-$\frac{11}{5}$，$\frac{93}{200}$）或（$\frac{19}{5}$，-$\frac{87}{200}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质等，根据题意画出图形是解题的关键．