Question

【题目】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，以AB为直径作⊙M，点C是优弧弧AB上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）

A. B. 2 C. 2-2 D. 4-2

Answer 1

【答案】B

【解析】

如图1，连OM，OB，OA，BD．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠BOM的度数，∠C=∠BOM=60°．由“直径所对的圆周角是直角和30度角所对的直角边”可以求得CD=BC，当BC取最大值时，CD最大．

解：如图：连接OM，OB，OA，BD，

则在Rt△OMB中，

∵OB=2，MB=，

∴OM=1，

∵OB=2，

∴∠OBM=30°，

∴∠MOB=60°，

连接OA．则∠AOB=120°．

∴∠C=∠AOB=60°，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDB=90°，

∴∠CBD=30°，

∴CD=BC，

∴当BC取最大值时，CD最大．

如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合，即BC=4，

∴CD最大=2．

故选B．