Question

【题目】已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝. M为线段AB的中点， 作DM⊥AB交AC于D. 点Q在线段AC上，点P在线段BC上，以PQ为直径的圆始终过点M， 且PQ交线段DM于点E.

⑴ 试说明△AMQ∽△PME；

⑵ 当△PME是等腰三角形时，求出线段AQ的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）5或

【解析】(1) 连接MC ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MC=MA=AB，由同弧所对的圆周角相等推出∠A=∠EPM ,再利用同角的余角相等，即可求解; (2)分三种情况讨论：当AM=AQ时; 当QA=QM时； 当MQ=AM时.

⑴ 连接MC,

∵∠C=90°,M是AB中点， ∴MC=MA=,

∴∠A=∠MCA,

∵∠MCA=∠EPM， ∴∠A=∠EPM.

∵PQ为直径 ,

∴∠PMQ=90°.

∴∠PME+∠QME =90°.

∵DM⊥AB,

∴∠AMD=90°.∴∠AMQ +∠QME =90°.

∴∠AMQ=∠PME，

∴△AMQ∽△PME

⑵AB=10，M为线段AB的中点，∴AM=5，AD===

当△AMQ等腰三角形时，△MPE也是等腰三角形.

当AM=AQ时，AQ=5;

当QA=QM时，AQ=；

由题意MQ≠.

综上所述,当△MPE是等腰三角形时，线段AQ长为或.