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【题目】小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考,请你帮他完成如下问题:

1)他认为该定理有逆定理:“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半,那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①,在中,边上的中线,若,求证:.

2)如图②,已知矩形,如果在矩形外存在一点,使得,求证:.(可以直接用第(1)问的结论)

3)在第(2)问的条件下,如果恰好是等边三角形,请求出此时矩形的两条邻边的数量关系.

【答案】1)详见解析;(2)详见解析;(3

【解析】

1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论;
2)先判断出OE=AC,即可得出OE=BD,即可得出结论;
3)先判断出ABE是底角是30°的等腰三角形,即可构造直角三角形即可得出结论.

(1)∵AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∵AD=CD,
∴∠C=∠CAD,
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,

2)如图②,连接,交点为,连接

四边形是矩形

3)如图3,过点于点

四边形是矩形

是等边三角形

由(2)知,

中,

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A.0B.20C.0D.30

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