Question

【题目】如图，已知BC是⊙O的直径，AD切⊙于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E．

（1）求证：△ACD∽△BCA；

（2）若A是⊙O上一动点，则

①当∠B＝_____时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；

②当∠B＝_____时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①45°；②60°

【解析】

（1）证明∠BAC＝∠ADC与∠ACD＝∠ACO，即可证明△ACD∽△BCA；

（2）①当∠B＝45°时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；②当∠B＝60°时，以A，O，C，D为顶点的四边形是棱形．

解：（1）证明：∵AD 切⊙O 于点 A，

∴OA⊥AD，

∵CD∥OA，

∴∠ADC＝90°，

∵BC 是⊙O 的直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ADC，

又∵CD∥OA，

∴∠ACD＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠ACD＝∠ACO，

∴△ACD∽△BCA；

（2）①∵四边形AOCD为正方形，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OC，

∠OCA＝∠OAC＝45°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠B=90°﹣45°＝45°，

故答案为45°；

②连接AE，

∵AD为切线，

∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°

∵四边形AOCE为菱形，

∠OAC＝∠EAC，

∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°

∴∠ACO＝30°，

∴∠AOB＝∠ACO+∠OAC＝30°+30°＝60°

∵OA＝OB，

∴∠B＝60°．

故答案为 60°．