Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴l交x轴于点A．

（1）若此抛物线经过点（1，2），当点A的坐标为（2，0）时，求此抛物线的解析式；

（2）抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点B，将该抛物线平移，使其经过点A，B，且与x轴交于另一点C．若b2＝2c，b≤﹣1，比较线段OB与OC+的大小．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+5；（2）当﹣3＜b≤﹣1时，OB＜OC+；当b＝﹣3时，OB＝OC+；当b＜﹣3时，OB＞OC+．

【解析】

（1）根据抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2），对称轴l交x轴于点A（2，0），列出关于b、c的方程组，解方程组即可求得此抛物线的解析式；

（2）先求出点A（﹣，0），B（0，），然后设平移后的抛物线的解析式为y＝（x++h）2++k，代入A、B的坐标，求得，那么平移后的抛物线的解析式为y＝（x++）2+﹣＝x2+bx+b2，然后求得C的坐标，得出OB＝，OC＝﹣b，OC+＝﹣b+，即可判断OB与OC+的大小．

解：（1）根据题意，得，

解得，

所以此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5；

（2）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点B，对称轴l交x轴于点A，

∴B（0，c），A（﹣，0），

∵b2＝2c，

∴c＝，

∴y＝x2+bx+c＝x2+bx+＝（x+）2+，

设平移后的抛物线的解析式为y＝（x++h）2++k，

∵抛物线经过点A（﹣，0），B（0，），

∴，解得，

∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x++）2+﹣＝x2+bx+b2，

令y＝0，则x2+bx+b2＝0，

解得x1＝﹣，x2＝﹣b，

∴C（﹣b，0），

∴OB＝，OC＝﹣b，

∴OC+＝﹣b+，

∵OB﹣（OC+）＝﹣（﹣b+）＝+b﹣＝（b2+2b﹣3）＝（b+3）（b﹣1），

而b≤﹣1，

∴当﹣3＜b≤﹣1时，OB＜OC+；

当b＝﹣3时，OB＝OC+；

当b＜﹣3时，OB＞OC+．