Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，点M为抛物线y=-x²+4的顶点，点A，B（点A与点M不重合）为抛物线上的动点，且AB∥x轴，以AB为边画矩形ABCD，点M在CD上，连结AC交抛物线于点E．
（1）当点A，B在x轴上时，求AE和CE的长；
（2）如图2，当原点O在AC上时，求直线AC的解析式；
（3）在点A，B的运动过程中，$\frac{AE}{EC}$是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=-x²+4=0，解之即可得出点A、B的坐标，根据抛物线的解析式结合矩形的性质即可得出点C、D、M的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的解析式成方程组，通过求方程组即可求出点E的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出AE和CE的长；
（2）根据二次函数的性质结合点O在AC上即可得出点A、C关于原点对称，设点C的坐标为（m，4），则点A的坐标为（-m，-4）（m＞0），由点A在抛物线上即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m值，再将m值代入点A、C的坐标中，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（3）设点A的纵坐标为n（n＜4），则点A的坐标为（-$\sqrt{4-n}$，n），点C的坐标为（$\sqrt{4-n}$，4），利用待定系数法求出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组找出点E的坐标，再由点A、E、C三点共线结合三点的横坐标即可求出$\frac{AE}{EC}$的值，此题得解．

解答 解：（1）令y=-x²+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴点A（-2，0），点B（2，0）．
∵点M为抛物线y=-x²+4的顶点，四边形ABCD为矩形，
∴点M（0，4），点D（-2，4），点C（2，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-2，0）、C（2，4）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
联立直线AC与抛物线的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴点E（1，3），
∴AE=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）由抛物线的对称性可知：点A、B关于y轴对称，
∴点A、C关于原点对称．
设点C的坐标为（m，4），则点A的坐标为（-m，-4）（m＞0）．
∵点A（-m，-4）在抛物线y=-x²+4上，
∴-4=-m²+4，解得：m=4$\sqrt{2}$，
∴点C（4$\sqrt{2}$，4）．
设直线AC的解析式为y=k₁x，
将C（4$\sqrt{2}$，4）代入y=k₁x，
4=4$\sqrt{2}$k，解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴当原点O在AC上时，直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（3）设点A的纵坐标为n（n＜4），则点A的坐标为（-$\sqrt{4-n}$，n），点C的坐标为（$\sqrt{4-n}$，4），
设直线AC的解析式为y=k₂x+b₂（k₂≠0），
将A（-$\sqrt{4-n}$，n）、C（$\sqrt{4-n}$，4）代入y=k₂x+b₂，
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{4-n}{k}_{2}+{b}_{2}=n}\\{\sqrt{4-n}{k}_{2}+{b}_{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{\sqrt{4-n}}{2}}\\{{b}_{2}=\frac{4+n}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{4-n}}{2}$x+$\frac{4+n}{2}$．
联立直线AC与抛物线的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{4-n}}{2}x+\frac{4+n}{2}}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\sqrt{4-n}}\\{{y}_{1}=n}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{4-n}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{12+n}{4}}\end{array}\right.$，
∴点E（$\frac{\sqrt{4-n}}{2}$，$\frac{12+n}{4}$）．
又∵点A、E、C三点共线，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{\sqrt{4-n}}{2}-（-\sqrt{4-n}）}{\sqrt{4-n}-\frac{\sqrt{4-n}}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{4-n}}{\frac{1}{2}\sqrt{4-n}}$=3．
∴在点A，B的运动过程中，$\frac{AE}{EC}$为定值3．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解二元二次方程组、矩形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标；（2）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标．