Question

如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．

（1）求证：EF∥CG；

（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．

　

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，

∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，

∴∠AFB+∠FAB=90°，

∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，

∴EC∥FG，

∵AF=EC，AF=FG，

∴EC=FG，

∴四边形EFGC是平行四边形，

∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，

∴FE=BE=AB=×2=1，

∴AF===，

由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，

∴S_△FEC=S_△CGF，

∴S_阴影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC﹣S_扇形FAG，

=+×2×1+×（1+2）×1﹣，

=﹣．