Question

5．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，BC平分∠ABD．
（1）求证：BD⊥CD．
（2）若⊙O的半径R=$\sqrt{6}$，BC=3$\sqrt{2}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等边对等角、角平分线的性质及切线的性质即可证明结论成立．
（2）连接AC，证明△BAC∽△BCD，由相似三角形的性质即可求得BD的长．

解答 （1）证明：连接OD，如下图所示：

∵直线CD与⊙O相切于C点，
∴OC⊥CD．
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC．
又∵BC平分∠ABD．
∴∠ABC=∠DBC
∴∠DBC=∠BCO
∴OC∥BD．
∵OC⊥CD．
∴BD⊥CB．
（2）解：连接AC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵由（1）知：BD⊥CD，
∴∠CDB=90°，
又∵∠ABC=∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BC}$，即：$\frac{3\sqrt{2}}{BD}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}$，
∴BD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质等问题，解题的关键是能将切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点综合应用．