Question

已知CD是△ABC中AB边上的高，AC+BC=8，CD=2，AE是△ABC的外接圆的直径，
（1）试说明△CBD∽△AEC；
（2）设AC=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理得出∠ACE=∠CDB，∠E=∠B，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出y与x的函数关系式；
（3）利用配方法求出二次函数最值即可．

解答：（1）证明：连接BC，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∵AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠CDB，
∵∠E=∠B，
∴△CBD∽△AEC；

（2）解：∵△CBD∽△AEC，
∴

CD

AC

=

BC

AE

，
∵AC=x，AE=y，AC+BC=8，CD=2，
∴BC=8-x，
∴

2

x

=

8-x

y

，
∴y关于x的函数关系式为：y=-

1

2

x2+4x；

（3）解：∵y=-

1

2

x2+4x=-

1

2

（x-4）²+8，
∴y的最大值为8．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质和二次函数最值求法，得出△CBD∽△AEC是解题关键．