在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），A、B两点的坐标分别A（-2，0）、B（4，0），点C从A点开始以1cm/s的速度沿折线AOy运动，同时点D从B点开始以2cm/s的速度沿折线BOy运动．
（1）在运动开始后的同一时刻，运动时间取何值时一定存在以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形此时，以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形相似吗？运动时间取何值时，以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形？请分别说明理由；
（2）请你求出当运动时间是4秒时经过三点A、B、C的抛物线的关系式，并指出其顶点坐标．
解：（1）①当时间大于2s时，以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形都存在．
②△AOC∽△BOD，当时间大于2s时，△AOC与△BOD相似．
设时间为x（x＞2）时，此时AO=2（cm），CO=x-2（cm），BO=4（cm），DO=2x-4（cm）．
∵
=
，
=
=
，
而∠AOC=∠BOD=90°，
∴△AOC∽△BOD．
③当x=4时，△AOC与△BOD会同时成为等腰直角三角形．
设时间x（x＞2）时，△AOC成为等腰直角三角形，
即x-2=2，
解得x=4．
即x=4时，△AOC为等腰直角三角形．
当x=4时，DO=2x-4=8-4=4，即DO=BO．
∴△BOD也是等腰直角三角形．
（2）当时间为4s时，点C的坐标为（0，2）．
设抛物线的关系式为y=ax
2+bx+c，
则
，
解之得y=-
x
2+
x+2．
∵y=-
x
2+
x+2=-
（x
2-2x-8）=-
[（x-1）
2-9]=-
（x-1）
2+
．
∴抛物线的顶点坐标为（1，
）．
分析：（1）①根据三角形存在的条件可知，当A、O、C三点不共线，B、O、D不共线时存在以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形．根据A、B两点及C、D，运动的速度可计算出C、D到原点时的时间，当大于此时间时它们均可构成三角形．
②由①可知它们运动两秒时同时到达O点，当它们再运动t秒时可分别计算出OC、OD的长度，根据其对应边的比可判断出两三角形是否相似．
③当OA=OC、OB=OD时两三角形均为等腰直角三角形，可设出运动的时间，根据两点运动的速度与OA、OB的长度求出时间．
（2）当运动时间是4秒时根据C点的运动速度可求出C点的坐标，根据A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出过此三点抛物线的解析式．根据其解析式即可求出其顶点坐标．
点评：此题是典型的动点问题，把三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特点相结合，锻炼了同学们对所学知识的综合运用能力．
全能测控期末小状元系列答案
坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．