如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.AD=10cm.AB=CD=15cm.sinB=$\frac{4}{5}$.点P.Q分别从点B.C同时出发.点P在BC边上沿BC方向以2cm/s的速度运动.点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时.另一点也随之停止运动.设运动时间为xs．(1)求BC的长,(2)①求x的取值范围,②是否存在四边形APCQ为平行四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，点P，Q分别从点B，C同时出发，点P在BC边上沿BC方向以2cm/s的速度运动，点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为xs．
（1）求BC的长；
（2）①求x的取值范围；
②是否存在四边形APCQ为平行四边形？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△CPQ的面积为y（cm²），求y与x的函数解析式，并探究x为何值时，△CPQ的面积取得最大值？并求出此最大值．

分析（1）作AE⊥BC，再根据三角函数和等腰梯形的性质解答即可；
（2）①根据等腰梯形的性质得出CD=AB=15，AD=10，利用点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动进而得出x的取值范围即可；
②根据平行四边形的性质进行解答即可；
（3）根据分$0≤x≤5，5＜x＜\frac{25}{3}，\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$三种情况得出解析式解答即可．

解答解：（1）作AE⊥BC，如图：

∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴BE=$15×\frac{3}{5}=9$，
∴BC=10+9+9=28cm；
（2）①∵BC=28cm，点P在BC边上沿BC方向以2cm/s的速度运动，
∴所需时间为14s；
∵点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动，CD+DA+AB=15+10+15=40cm，
∴所需时间为$\frac{40}{3}$s，
可得：x的取值范围为：$0≤x≤\frac{40}{3}$；
②不存在四边形APCQ为平行四边形，
理由如下：
当点Q在AD上，且AQ=PC时，四边形APCQ为平行四边形，
∵AD=10cm，CD=15cm，点Q的运动路程为3xcm，
∴AQ=AD+CD-3x=（25-3x）cm，
∵BC=28cm，BP=2xcm，
∴25-3x=28-2x，
解得：x=-3，
∵$0≤x≤\frac{40}{3}$，
∴不存在四边形APCQ为平行四边形；
（3）当点Q在CD上运动时，如图2：

即0≤x≤5时，y=-2.4（x-7）²+117.6；
当点Q在AD上运动时，如图3：

即$5＜x＜\frac{25}{3}$时，y=-12x+168；
当点Q在AB上运动时，如图4：

即$\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$时，y=0.8（3x²-82x+560），
当x=5cm时，y=108cm²．

点评本题考查了梯形性质，平行四边形和等腰梯形的性质的应用，注意：平行四边形的对边相等，等腰梯形的两腰相等，同时注意数形结合表示出△CPQ的面积是解题关键．

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