Question

8．如图，正方形OABC的两顶点A，B恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）图象上，已知点A坐标为（a，b）．
（1）试用含a，b的代数式表示点B坐标；
（2）①若a=2，求k的值；
②试求b关于a的函数表达式；
（3）若k=4（$\sqrt{5}+1$），试求正方形OABC的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作DE∥x轴，作BE∥y轴，如图所示，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，正方形边长相等，利用AAS得到三角形OAD与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=BE=a，OD=AE=b，表示出B坐标即可；
（2）①根据A与B都在反比例函数图象上，利用反比例函数性质列出关系式，把a=2代入求出b的值，即可确定出k的值；②根据得出关系式整理表示出b即可；
（3）根据k的值求出ab的值，与（2）中结论结合求出a与b的值，利用勾股定理表示出正方形OABC的边长，即可求出面积．

解答 解：（1）过A作DE∥x轴，作BE∥y轴，如图所示，
∵∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△OAD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠ODA=∠E=90°}\\{OA=BA}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△ABE（AAS），
∴BE=AD=a，AE=OD=b，
∴B（a+b，b-a）；
（2）①∵A（a，b），B（a+b，b-a），且A，B在反比例函数图象上，
∴ab=（b+a）（b-a），
把a=2代入得：2b=b²-4，
解得：b=1±$\sqrt{5}$，
∵k＞0，∴k=ab=2（$\sqrt{5}$+1）；
②由ab=（b+a）（b-a）=b²-a²，整理得：b²-ab-a²=0，
解得：b=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}}{2}$=$\frac{a±\sqrt{5}a}{2}$，
∵b＞0，
∴b=$\frac{（1+\sqrt{5}）a}{2}$；
（3）根据题意得：k=ab=4（$\sqrt{5}$+1），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{ab=4（\sqrt{5}+1）}\\{b=\frac{（\sqrt{5}+1）a}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{b=\sqrt{2}（1+\sqrt{5}）}\end{array}\right.$，
则S_{正方形OABC}=a²+b²=8+2（6+2$\sqrt{5}$）=20+4$\sqrt{5}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．