Question

3．如图，点A的坐标为（-1，0），点B（a，-2）在直线y=2x-4上．
（1）求a的值与直线AB的解析式；
（2）把直线AB向上平移m个单位后，与直线y=2x-4的交点在第一象限，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点B（a，-2）代入y=2x-4，即可求出a的值；设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、点B的坐标代入，运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x-1；
（2）根据平移的规律得出把直线AB向上平移m个单位后的解析式y=-x+m-1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，求出交点坐标为（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{2m-6}{3}$），然后根据第一象限内点的坐标特征列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+3}{3}＞0}\\{\frac{2m-6}{3}＞0}\end{array}\right.$，解不等式组即可．

解答 解：（1）∵点B（a，-2）在直线y=2x-4上，
∴2a-4=-2，
解得a=1；
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标是（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x-1；

（2）把直线AB向上平移m个单位后得y=-x+m-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{2m-6}{3}}\end{array}\right.$，
即交点为（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{2m-6}{3}$）．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+3}{3}＞0}\\{\frac{2m-6}{3}＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞3．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，运用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，直线平移的规律等知识，综合性较强，难度适中．