Question

9．现场学习：观察一列数：1，2，4，8，16，…，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．
解决问题：
（1）已知等比数列5，-15，45，…，那么它的第六项是-1215．
（2）已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为2．
（3）如果等比数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，公比为q，那么有：a₂=a₁q，a₃=a₂q=（a₁q）q=a₁q²，…，
a_n=a₁q^n-1．（用a₁与q的式子表示，其中n为大于1的自然数）

Answer 1

分析 （1）首先算出等比数列的公比为（-15）÷5=-3，第二项为5×（-3），第三项为5×（-3）²，…第n项为5×（-3）^n-1，由此求得第六项即可；
（2）设等比数列的公比为x，则10×x²=40，则求得x=2；
（3）由a₂=a₁q，a₃=a₂q=（a₁q）q=a₁q²，…，a_n=a₁q^n-1．

解答 解：（1）5×（-3）^6-1=-1215．                                          

（2）设等比数列的公比为x，则10×x²=40，则求得x=2；                                  

（3）a_n=a₁q ^n-1．

点评 此题考查等比数列的意义以及求等比数列的公比和通项公式的方法．