分析 (1)延长FC至H,由AB是⊙O的直径,得出∠ACB=90°,由EM⊥AB,得出∠EMB=∠ACB=90°,证得△ABC∽△EMB,得出∠CEF=∠CAB,由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH,由对顶角相等得出∠BCH=∠ECF,推出∠CEF=∠ECF,即可得出结论;
(2)利用含30度的直角三角形三边的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2,AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$,则CE=2$\sqrt{3}$,所以BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$,然后在Rt△BEM中计算出BM=$\frac{1}{2}$BE即可.
解答 (1)证明:延长FC至H,如图所示:
∵⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,
∴AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵EM⊥AB,
∴∠EMB=∠ACB=90°,
∵∠ABC=∠EBM,
∴△ABC∽△EMB,
∴∠CEF=∠CAB,
∵FC是⊙O的切线,
∴∠CAB=∠BCH,
∵∠BCH=∠ECF
∴∠CAB=∠ECF,
∴∠CEF=∠ECF,
∴EF=CF;
(2)解:∵∠ACB=90°,∠B=2∠A,
∴∠B=60°,∠A=30°,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2,AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$,
∵AC=CE,
∴CE=2$\sqrt{3}$,
∴BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$,
在Rt△BEM中,∠BME=90°,∠BEM=∠A=30°
∴BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了切线的性质、含30度的角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理等知识;熟练掌握弦切角定理与含30度的角直角三角形的性质是解决问题的关键.
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A. | 9件 | B. | 10件 | C. | 11件 | D. | 12件 |
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A. | 1 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 2 | D. | $\frac{5}{2}$ |
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A. | y2>y1>y3 | B. | y3>y2>y1 | C. | y1>y2>y3 | D. | y3>y1>y2 |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | 一直减小 | B. | 一直不变 | C. | 先减小后增大 | D. | 先增大后减小 |
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