Question

（2012•乐山模拟）在锐角△ABC中，AB=AC，∠A使关于x的方程

1

4

x²-sinA•x+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设D为BC上的一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式求出sinA=

3

2

，进而得出∠A=60°，再利用AB=AC，求出△ABC的形状．
（2）根据题意可得出∠BDE=∠CDF=30°，再由锐角三角函数关系可得出BD，CD，从而求出BC进而得出AB的长．

解答：解：（1）∵关于x的方程

1

4

x²-sinA•x+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=sin²A-4×

1

4

（

3

sinA-

3

4

）=0，
则（sinA-

3

2

）²=0，
故sinA-

3

2

=0，
即sinA=

3

2

，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；

（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=

4n

3

，
∴（

4n

3

）²+n²=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=

ED

BD

，
∴BD=

ED

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

，
∵cos30°=

DF

DC

，
∴CD=

DF

cos30°

=2

3

，
∴BC=

8 3

3

+2

3

=

14 3

3

，
则AB的长为

14

3

3

．

点评：此题考查了等边三角形的性质与判定以及一元二次方程根的判别式、锐角三角函数关系等知识，解题的关键是求出BD，CD的长．