Question

为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1250吨的污水．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少万元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）

Answer 1

解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，
由题意有 3x+2×80%x=46，
解得：x=10，
∵10×80%=8，
∴一台甲型设备的价格为10万元，一台乙型设备的价格是8万元．

（2）设二期工程中，购买甲型设备a台，
由题意有，
解得：．
由题意a为正整数，则a=2，3，4，5．
故所有购买方案有四种，分别为：
方案一：甲型2台，乙型6台； 方案二：甲型3台，乙型5台；
方案三：甲型4台，乙型4台； 方案四：甲型5台，乙型3台．

（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元．
则w=10a+8（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a）．
化简得：w=-3a+184，
∵W随a的增大而减少，∴当a=5时，W最小．
（对四种方案逐一验算也可）
故按方案四甲型购买5台，乙型购买3台的总费用最少．
分析：（1）由题中提炼出的1个等量关系，购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%，即可列方程求出；
（2）根据题意列出不等方程组，再解出未知量的取值范围；
（3）首先根据已知得出W与x的函数关系，再利用一次函数的增减性进行分析的得出答案即可．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，以及列出不等方程组是解题关键．