如图.在平面直角坐标系中.点C.点A.B分别在x轴.y轴的正半轴上.线段OA.OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解.且OB＞OA．若点P从C点出发.以每秒1个单位的速度沿射线CB运动.连结AP．(1)判断三角形ABC的形状并求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式．(2)在点P的运动过程中.利用备用图1探究.求△AOP周长最短时点P运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，在平面直角坐标系中，点C（-4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x²-3x+2=0的解，且OB＞OA．若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．
（1）判断三角形ABC的形状并求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式．
（2）在点P的运动过程中，利用备用图1探究，求△AOP周长最短时点P运动的时间．
（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先解方程x²-3x+2=0，得出AO=1，0B=2，再由OB²=OA•OC=4，即

，又∠AOB=∠BOC=90°，得到△AOB∽△BOC，则∠ABO=∠BCO，证明∠ABC=90°，判断出△ABC为直角三角形．作PD⊥AC于D．由PD∥OB，得出△CDP∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出PD=

，然后根据S_△AOP=

OA•PD即可得到△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式；
（2）由于OA=1为定值，所以OP+AP最小时，△AOP周长最短．由（1）知∠ABC=90°，那么延长AB至点A′，使BA′=AB，则A′与A关于BC对称，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．求出OA′的解析式，与直线BC的解析式联立组成方程组，解方程组求出P点坐标，进而得到点P运动的时间；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况进行讨论：①当

时，△ABP∽△AOB；②当

时，△ABP∽△BOA，分别求出BP的长，再分点P在线段BC与线段CB的延长线上确定点P的坐标．

解答：解：（1）∵x²-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∴AO=1，0B=2．
∵OC=4，
∴OB²=OA•OC=4，
∴

，
又∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
如图，作PD⊥AC于D．
∵PC=t，PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴

，
∴PD=

OB•CP

，
∴S_△AOP=

OA•PD=

×1×

t，
即S=

t；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（-4，0），
∴

b=2

-4k+b=0

，解得

b=2

，
∴y=

x+2．
延长AB至点A′，使BA′=AB，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．
∵A′与A关于BC对称，
∴B是AA′的中点，
∵B（0，2），A（1，0），
∴A′（-1，4）．
易求OA′的解析式为y=-4x，
由

y=-4x

x+2

，解得：

x=-

，
∵S=

×1×

，
∴

，
∴t=

；

（3）在点P的运动过程中，存在点P，能够使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似．
分两种情况：
①当

时，△ABP∽△AOB，
则

，解得BP=2

．
如果点P在线段BC上，那么CP=BC-BP=2

-2

=0，此时P点与C点重合，即P₁（-4，0）；
如果点P在线段CB的延长线上，那么CP=CB+BP=2

，易求P₂（4，4）；
②当

时，△ABP∽△BOA，
则

，解得BP=

．
如果点P在线段BC上，易求P₃（-1，

），
如果点P在线段CB的延长线上，易求P₄（1，

）．
综上所述，所求P点坐标为P₁（-4，0），P₂（4，4），P₃（-1，

），P₄（1，

）．

点评：本题考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

随着国民经济的增长和社会的发展，私人轿车的拥有量在逐年攀升，如图1（不完整），图2是某市关于私人轿车的一份统计图．

请根据以上信息解答下列问题．
（1）计算2010年该市私人轿车拥有量的年增长率约为多少（结果保留整数）并补全折线统计图；
（2）一辆排量为1.6L的轿车，如果一年行驶1千米，这一年，它的碳排放量约为2.7吨，据预测，本市2013年私人轿车拥有量的年增长率为25%，其中排量为1.6升的汽车约占60%，则2013年仅排量为1.6L的这类私人轿车（假设每辆车平均一年行驶1万千米）的碳排放量将约增加多少万吨？
（3）对于这个问题，请用简短的语言发出倡议．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知抛物线y=x²+（2n-1）x+n²-1（n为常数）．当抛物线经过原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

先化简再求值：

m2-6m+9

m2-9

，其中m=-1．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

当x=

时，

x-2

2-x

有意义．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，△ABC中，O为三边垂直平分线的交点，将△ABC沿DE折叠，使顶点A恰好落在O点处，若BD=OB，则∠C的度数为（　　）

A、45°	B、54°
C、60°	D、72

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知，抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A（-1，0）和B两点，与y轴交于点C，其顶点为M．
（1）求a的值和M的坐标；
（2）将抛物线平移，使其顶点在射线CB上，且A点的对应点为A′，若S_△A'AC=9，求平移后的抛物线的解析式；
（3）如图2，将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图象，当直线y=kx-2k+5与新图象有三个公共点时，求k的值．