Question

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D.

（1）当点P在⊙O上，求OD的长.
（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，，求y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围。
（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长。

Answer 1

解：当P在⊙O上时，连接BP       
∵ C是AB中点，O是AP中点，
∴ 点D为△ABP的重心， ∴ 
∵ OA=OB=5  ∴  
（2）过点O作OE//AB，交PC于点E（如图） 

∵OE//AB ∴，     
又∵ AC=BC  ∴ 
即  (x>0) 
(3) 当P在AO延长线上时，若△PCO∽△PAC时，有∠PCO=∠A，
∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易证△ACO∽△BDC
得    得   ∴ 
当P在AO上时，若△PCO∽△PAC时，可得CP⊥AO（如图）
作BH⊥AO，可求得  ，
由， 得     ∴
则 
综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为或

（1）连接BP，由两个中点得出点D是重心，可以得到；
（2）过点O作OE//AB，由三角形中线段的相似比找出y与x的函数关系式；
（3）考虑两种情况：点P在AO延长线上或者点P在AO上。