Question

某公司生产的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来20天内每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）设未来20天日销售利润为p （元），请写出p （元） 与t（天）之间的关系式；并预测未来20天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）若该公司预计日销售利润不低于560元，请借助（2）小题中的函数图象确定时间的取值范围，持续了多少天？
（4）在实际销售的20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜5）给希望工程．公司通过销售记录发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）将和代入一次函数m=kt+b中，
有．
∴
∴m=-2t+96
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式．
故所求函数解析式为m=-2t+96
（2）设未来20天的日销售利润为p元．
由
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，p有最大值578（元）
∴最大日销售利润是578元；
（3）令p=560，
解得：t₁=8，t₂=20；
∴持续的天数是：20-8=12；
（4）
对称轴为．
∵1≤t≤20，a=-＜0，
∴t的取值范围在对称轴的左侧时p随t的增大而增大，
∴当14+2a≥20即a≥3时，p随t的增大而增大．
又∵a＜5，
∴3≤a＜5
分析：（1）本题需先根据表中所给的数据，代入一次函数m=kt+b中，得出k与b的值，即可求出函数得解析式．
（2）本题需先设未来20天的日销售利润为p元，根据题意列出式子，得出当t等于多少的时候，p有最大值，即可求出最大日销售利润．
（3）本题需先根据（2）中的函数图象确定时间的取值范围，即可求出t₁和t₂的值，即可求出持续的天数．
（4）本题需先p的式子，找出t的对称轴，再根据t的取值范围，即可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查了二次函数，在解题时要注意二次函数的知识的综合应用和解题方法是本题的关键，是一道常考题．