Question

6．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD长为13米，坡度为1：$\frac{12}{5}$，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上，求斜坡的高 DE与大楼AB的高度．（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）

Answer 1

分析 由斜坡CD坡度为1：$\frac{12}{5}$即DE：CE=5：12，设DE=5x，则CE=12x，在Rt△CDE中根据勾股定理求得x的值，即可知DE、CE的长；过点D作DF⊥AB于F，则AF=DE=5米，设BF=DF=a，则AC=AE-CE=DF-CE=a-12，AB=AF+BF=5+a，在Rt△ABC中，根据tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$可求得a的值，继而可得AB的长．

解答 解：∵斜坡CD坡度为1：$\frac{12}{5}$，即DE：CE=5：12，
设DE=5x，则CE=12x，
∵CD=13，
在Rt△CDE中，DE²+CE²=CD²，即（5x）²+（12x）²=13²，
解得：x=-1（舍）或x=1，
故DE=5米，CE=12米；

过点D作DF⊥AB于F，
则AF=DE=5米，
∵∠BDF=45°，
∴设BF=DF=a，
则AC=AE-CE=DF-CE=a-12，AB=AF+BF=5+a，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{5+a}{a-12}$=2，
解得：a=29，
∴AB=BF+AF=29+5=34米，
答：斜坡CD的高度DE为5米，大楼的高AB为34米．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-坡度、坡角和仰角、俯角的问题，此类题目要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．