Question

16．将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF，连接AE，将AE折叠到AB上，折痕为AH，则$\frac{BH}{BC}$的值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设正方形纸片ABCD的边长为2a，根据折叠的性质得到DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=a，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，由折叠的性质得到AG=AE=$\sqrt{5}$a，HG=EH，求得BG=（$\sqrt{5}$-2）a，根据勾股定理列方程得到BH=（$\sqrt{5}$-1）a，即可得到结论．

解答 解：设正方形纸片ABCD的边长为2a，
∵将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=a，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵将AE折叠到AB上，
∴AG=AE=$\sqrt{5}$a，HG=EH，
∴BG=（$\sqrt{5}$-2）a，
∴CE²+CH²=BH²+BG²，
即a²+（2a-BH）²=BH²+[（$\sqrt{5}$-2）a]²，
解得：BH=（$\sqrt{5}$-1）a，
∴$\frac{BH}{BC}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．