Question

3．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A₁AD₁≌△CC₁B；②s=$\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（{x-2}）^2}$（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC₁D₁是正方形；④当x=2时，△BDD₁为等边三角形；其中正确的是①②④（填序号）．

Answer 1

分析 ①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
②易得△AC₁F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式
③根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形．
④当x=2时，点C₁与点A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，从而可判断△BDD₁为等边三角形．

解答 解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS），
故①正确；
②易得△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{S△A{C}_{1}F}{S△ACD}=（\frac{2-x}{2}）^{2}$
解得：S_△AC1F=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-2）² （0＜x＜2）；故②正确；
③∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥BC₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形，
故③错误；
④如图所示：
则可得BD=DD₁=BD₁=2，
∴△BDD₁为等边三角形，故④正确．
综上可得正确的是①②④．
故答案为：①②④

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．