Question

（2008•上海模拟）已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10．
求：（1）OE的长；
（2）∠B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接OB，由直径AD垂直于弦BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，同时由直径AD的长求出半径的长，再由BC的长求出BE的长，在直角三角形OBE中，利用勾股定理求出OE的长即可；
（2）由（1）求出的OE长，根据AO+OE求出AE的长，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的长，最后利用锐角三角函数定义即可求出sin∠ABC的值．

解答：解：（1）连接OE，OB，如图所示：

∵直径AD=10，
∴AO=OB=OD=5，
又AD⊥BC，
∴E为BC的中点，又BC=8，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
在Rt△BOE中，OB=5，BE=4，
根据勾股定理得：OE=

OB2-BE2

=3；
（2）∵AO=5，OE=3，
∴AE=AO+OE=5+3=8，
在Rt△ABE中，BE=4，AE=8，
根据勾股定理得：AB=

AE2+BE2

=4

5

，
则sin∠ABC=

AE

AB

=

8

4 5

=

2 5

5

．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．