Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+p=0的两个实数根且p，k的函数关系如图所示，第三边BC的长为5．
（1）求出以k为自变量的p的函数关系式．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer 1

解：（1）p，k的函数图象过点（-1，0），（-2，0），
∴设p=a（k+1）（k+2），
∵p，k的函数图象过点（0，2），
∴2a=2，
∴a=1，
∴p=（k+1）（k+2）=k²+3k+2，
∴以k为自变量的p的函数关系式为：p=k²+3k+2；

（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）+k²+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或-5；
∵AB+AC=2k+3＞0，
∴k=-5（舍去）
∴k=2．
∴k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
分析：（1）观察图象可知p，k是二次函数关系，又由p，k的函数图象过点（-1，0），（-2，0），可设两点式p=a（k+1）（k+2），然后由p，k的函数图象过点（0，2），由待定系数法即可求得以k为自变量的p的函数关系式．
（2）由△ABC是以BC为斜边的直角三角形，根据勾股定理可得AB²+AC²=25，又由AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+p=0的两个实数根，根据根与系数的关系，即可求得AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，则可求得方程（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．