Question

【题目】已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于点E，交直线BA于点F，当点P在线段BD上时，易证得：AC=PE+PF（如图①所示）．当点P在线段BD的延长线上（如图②所示）和当点P在线段DB的延长线上（如图③所示）两种情况时，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图③的结论进行证明．

Answer 1

【答案】解：当P在BD的延长线上时，如图②，延长FE交BC的延长线于点G，

∵AC∥FG，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG﹣PE=PF﹣PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四边形ACGE为平行四边形，
∴AC=EG，
∴AC=PF﹣PE；
当P在DB的延长线上时，如图③，延长CB交EF于点G，

∵AC∥EF，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE﹣PG=PE﹣PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴EG=AC，
∴AC=PE﹣PF．
【解析】在②中延长FE交BC的延长线于点G，可证得PF=PG，再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG，可得到AC=PF﹣PE；在③中延长CB交EF于点G，可证得PG=PF，可得到AC=PE﹣PF．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质，需要了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．