Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动（点D不与B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示△DEF的面积S；
（2）当t为何值时，⊙O与直线BC相切？

Answer 1

分析：（1）用t将AD和AE表示出来，利用三角形的面积计算方法列出关于t的函数关系式即可；
（2）过点O作OG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，在△DBH中利用解直角三角形的知识表示出DH和OG，利用相切的定义求得t的值即可．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
在△ADE中，
∵∠A=90°，
∴tan∠ADE=

AE

AD

，
∵AD=1×t=t，
∴AE=

3

t，
又∵四边形ADFE是矩形，
∴S_△DEF=S_△ADE=

1

2

AD×AE=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2（0≤t＜3），
∴S=

3

2

t2（0≤t＜3）；

（2）过点O作OG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，
∵DE∥BC，
∴OG=DH，
∠DHB=90°，
在△DBH中，sinB=

DH

BD

，
∵∠B=60°，BD=AB-AD，AD=t，AB=3，
∴DH=

3

2

(3-t)，
∴OG=

3

2

(3-t)，
当OG=

1

2

DE时，⊙O与BC相切，
在△ADE中，
∵∠A=90°，∠ADE=60°，
∴cos∠ADE=

AD

DE

=

1

2

，
∵AD=t，
∴DE=2AD=2t，
∴2t=

3

2

(3-t)×2，
∴t=6

3

-9，
∴当t=6

3

-9时，⊙O与直线BC相切．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．