Question

如图，已知△OAB的顶点A（3，0），B（0，1），O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过C，D，A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；
（3）在对称轴上找一点P，使得PB+PD最小，求出最小值和P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得CD两点的坐标；
（2）设出解析式，并将A、C、D三点的坐标代入可得方程组，解可得解析式，进而可得M的坐标；
（3）过点D作关于抛物线对称轴对称的点D′，连接BD′，BD′与对称轴的交点即为所求的点P；利用两点间的距离公式求得该线段的最小值．

解答：解：（1）如图，∵A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1．
又∵将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC，
∴OD=OA=3，OC=OB=1，
∴C（-1，0），D（0，3）；

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在抛物线上
∴

c=3   a-b+c=0 9a+3b+c=0

解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）；

（3）如图，点D关于抛物线对称轴对称的点是D′，连接BD′交抛物线对称轴于点P．
∵由（1）知D（0，3）、B（0，1），由（2）知，M（1，4）．
∴对称轴是x=1，D′（2，4），
则点P的坐标为：（

2+0

2

，

4+1

2

），即P（1，

5

2

）．
根据对称性得到：PB+PD=PB+PD′=BD′=

(2-0)2+(4-1)2

=

13

．
综上所述，PB+PD最小值是

13

，此时点P的坐标是（1，

5

2

）．

点评：本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．