Question

10．如图，已知菱形ABCD的周长为16cm，AE垂直平分BC，垂足为E
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC是等腰三角形，得出AC=AB，再得出OA，根据菱形的性质与勾股定理求出OB，即可得出BD；
（2）由菱形ABCD的面积=两条对角线乘积的一半，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∵AE垂直平分BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC
∵菱形ABCD的周长为16cm，
∴AB=BC=AC=4，
∴OA=2，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$；
（2）菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明等腰三角形和运用勾股定理求出OB是解决问题的关键．