Question

【题目】已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；

(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；

(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D

【解析】

（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．

（3）参照（2）的解题思路.

解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，

又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P-∠D=∠B-∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．

（3）由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D．