Question

如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，根据圆周角定理得出∠BCD=∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案；
（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AB⊥CD，AB过O，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BCD=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）解：∵AB⊥CD，AB过O，AB=8m，
∴CE=DE=4m，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC=

CE2+BE2

=

42+22

=2

5

（m），
∵AB为直径，AB⊥CD，
∴∠BCA=∠CEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴

BC

BE

=

BA

BC

，
∴BA=

BC2

BE

=

(2 5 )2

2

=10（m），
即⊙O的直径是10m．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．