Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．
（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，OA=2，∠CAO=30°，
则OC=OAtan∠CAO=2，
即点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得：，
解得：，
故直线AC的函数表达式为：y=x+2．

（2）过点D作DE⊥OA于点E，

∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2，
∴DE=3，AE=，
∴OE=，
故点D的坐标为（-，3）．

（3）
①当AD为平行四边形的一边时，点P的位置有两个，分别为P₁、P₂，
当点P位于P₁位置时，DP₁=AO，
此时可得点P的坐标为（，3）；
当点P位于P₂位置时，
∵OD=AD，△AOD是等边三角形，
∴点P₂与点D关于x轴对称，
此时可得点P的坐标为（-，-3）；
②当AD为平行四年行的对角线时，点P的位置有一个，在P₃的位置，
此时DP₃=AO，
故可得点P的坐标为（-3，3）．
综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
分析：（1）求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，利用三角函数的知识，求出DE及OE的长度，即可得出点D的坐标．
（3）找到点P的可能位置，利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标．
点评：本题考查了一次函数的综合，涉及知识点较多，解答本题的第一问的关键是熟练掌握待定系数法，第二问要求我们能熟练解直角三角形，第三问要求我们具备分类讨论的能力，另外要熟练掌握平行四边形的性质．