Question

17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM=2AM．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积．

Answer 1

分析 （1）过点M作MH⊥x轴于点H．得出MH∥AB，那么△OMH∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例求出点M的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）先由AB⊥x轴，A（3，4），得出N点横坐标为3．再把x=3代入y=$\frac{16}{3x}$，求出N点坐标，得到AN的值，根据OC∥AN，得出$\frac{OC}{AN}$=$\frac{OM}{AM}$=2，求出OC，然后根据△OMC的面积=$\frac{1}{2}$OC•OH，代入数值计算即可．

解答 解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H．
∵AB⊥x轴于点B，
∴MH∥AB，
∴△OMH∽△OAB，
∴$\frac{OH}{OB}$=$\frac{MH}{AB}$=$\frac{OM}{OA}$．
∵A点的坐标是（3，4），OM=2AM，
∴OB=3，AB=4，$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴OH=2，MH=$\frac{8}{3}$，
∴M（2，$\frac{8}{3}$）．
∵点M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{16}{3x}$；

（2）∵AB⊥x轴，A（3，4），
∴N点横坐标为3．
把x=3代入y=$\frac{16}{3x}$，得y=$\frac{16}{9}$，
∴N点坐标为（3，$\frac{16}{9}$），
∴AN=4-$\frac{16}{9}$=$\frac{20}{9}$．
∵OC∥AN，
∴$\frac{OC}{AN}$=$\frac{OM}{AM}$=2，
∴OC=2AN=$\frac{40}{9}$，
∴△OMC的面积=$\frac{1}{2}$OC•OH=$\frac{1}{2}$×$\frac{40}{9}$×2=$\frac{40}{9}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等知识，正确求出函数解析式是解题的关键．